1951 yılında Sakarya’da doğdu.
Robert Kolej’inde okuduktan sonra Boğaziçi Üniversitesi’nde Kimya Mühendisliği bölümünde lisans, Endüstri Mühendisliği bölümünde yüksek lisans eğitimini tamamladı. Aldığı eğitimler sayesinde ileri derecede İngilizce ve Almanca konuşmaktadır.
1994 yılında çalışmaya başladığı Türkiye Şişe ve Cam Fabrikaları A.Ş.’de Kimyasallar Grup Başkanlığı, Cam Ev Eşyası Grup Başkanlığı, Düz Cam Grup Başkanlığı görevlerinde çalıştı ve Şişecam İcra Komitesi üyeliğini de sürdürdü. Kariyerinde 160 ülkeye ihracat yapan Gülsüm Azeri; Türkiye, Bulgaristan, Rusya ve Mısırda büyük ölçekli 15 üretim tesisinin yapımını başlatarak sonuçlandırdı. Aynı zamanda da Fransa, İtalya, Belçika ve ABD’de alanlarında lider firmalarla iş ortaklıkları yaparak başarısını sürdürdü. 2004-2008 yılları arasında Avrupa Cam Federasyonu Cam Ev Eşyası Komitesi başkanlığı, 2009-2011 yılları arasında ise “Glass For Europe’ta”Yönetim Kurulu Üyeliği yaptı.
Fortune dergisinin araştırmasına göre Türkiye’de en güçlü 10 iş kadını arasına giren Gülsüm Azeri, İstanbul Sanayii Odası (ISO) Yönetim Kurulu Üyeliği, ISO Meclis Üyeliği, ISO Meslek Komitesi Başkanlığı, TİM Yürütme Kurulu Üyeliği, Toprak ve Çimento Ürünleri İhracatçılar Birliği Başkanlığı, DEİK Yönetim Kurulu Üyeliği ve İcra Kurulu Üyeliği yaptı.
2005-2011 yılları arasında Başbakanlık Etik Kurulu’nda özel sektörü temsil etti ve 2011-2013 yılları arasında Türk Hava Yolları Yönetim Kurulu Üyeliği yaptı.
2017 yılında Ekonomist Dergisi tarafından yapılan “Türkiye’nin En Güçlü Kadın CEO’ları” listesinde en üst sırada yer aldı.
Evli olan Azeri iki erkek çocuk annesi.